Реферат На Тему Числовые Ряды
Читать учебное пособие online по теме 'Числовые ряды'. На - Числовые ряды. Банк рефератов. 2 как числовые ряды корзины. На Доклад: Числовые ряды.
Реферат по дисциплине 'Высшая математика' на тему Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Раздел: Ряды. Тема: Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Учебная цель: расширить понятие студентов о знакопеременные ряды, абсолютную и условную сходимость. Межпредметная интеграция: математика Содержание: а). Проработать учебный материал.
Дать ответы на вопросы. Проработать примеры. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Контрольные вопросы: а). Охарактеризовать общие понятия.
Рассказать о некоторых свойствах числовых рядов. Какую вы знаете необходимого признака сходимости ряда? Приведите примеры достаточной признаки сходимости положительных числовых рядов. Что вы знаете о закопочережни числовые ряды. Литература: Высшая математика для экономистов.
Киев: ЦУЛ 2002-400с. Серия: Матем. Барковский В.В. Барковская Н.В.
Общие понятия. Пусть задана бесконечная последовательность чисел а1, а2, а3., аn. Выражение а1 + а2 + а3 +. Называется бесконечным числовым рядом, числа а1, а2, а3., аn членами ряда, а n общим членом ряда. Итак, от последовательности мы перешли к ряду.
С помощью значка суммы ряд можно записать так: (1) где n принимает значения от 1. Что задать числовой ряд, надо задать его общий член аn в виде формулы по которой для любого n можно найти соответствующий член ряда. Например, пусть общий член ряда тогда соответствующий ряд будет Иногда задают несколько первых членов ряда и надо записать весь ряд, то есть найти его общий член.
При этом надо находить общий член ряда по возможности простому виду. Например, найти общий член ряда Имеем: первый член ряда второй член ряда Итак, искомая функция подолжна иметь вид дроби, числитель которой равен 1, в знаменатель должен быть равен, то есть общий член заданного ряда будет а ряд имеет вид Определение 1. Частичной суммой числового ряда (1) называют сумму Sm первых т членов этого ряда, то есть Определение 2.
Суммой S числового ряда называют предел, частичной суммы Sn при, то есть (2) Определение 3. Если граница частичной суммы ряда является конечное число, то ряд называют сходящимся и обозначают этот факт так: Если граница частичной суммы не существует или равна, то числовой ряд называют расходящимся.
Определение 4. Числовой ряд вида (3) называют рядом геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом. Исследовать сходимость ряда геометрической прогрессии. Разгрузка Связывание. При частичная сумма Sn определяется по известной формуле суммы убывающей геометрической прогрессии: Поэтому суммой ряда в этом случае будет есть ряд совпадает и его сумма. Если то частичной суммой будет а сумма ряда есть ряд расходится. Если q = 1, то Sn = а + а + а +.
+ а = na, поэтому сумма ряда будет есть ряд расходится. Если q = 1, то S1 = a, S2 = a, S3 = a, S4 = 0. Последовательность таких частичных сумм границы не имеет (она зависит от способа следования), поэтому ряд расходится. Итак, ряд геометрической прогрессии совпадает при и расходится при. Определение 5.
Числовой ряд вида (4) называют обобщенным гармоничным рядом. Математиками доказано, что при обобщенный гармонический ряд расходится, а при р & gt; 1 этот ряд сходится. При р = 1 ряд (4) принимает вид (5) и называется гармоничным рядом. Этот ряд расходится. Некоторые свойства числовых рядов. Пусть задано числовой ряд а1 + а2 + а3 +. + а n + ап + 1 + ап + 2 +.
(1) Если в этом ряду отбросить первые п членов, то получим ряд, который называют остатком ряда (1) после п-го члена и обозначают, то есть (6) Теорема 1. Если ряд (1) совпадает, то совпадает й его остаток, и, наоборот, если совпадает остаток, то совпадает и ряд (1). Пусть ряд (1) совпадает. Рассмотрим частичную сумму п + т членов ряда (7) Зафиксируем номер п и пусть. Тогда граница S т + п существует по условию и равно сумме ряда S. При фиксированном п Sn является постоянное число, так граница при существует и равен.
Итак, S = Sn + rn (8) Пусть теперь остаток совпадает. Докажем, что ряд также совпадает. Снова в равенства (7) зафиксируем n и перейдем к пределу при. Граница существует потому, что по условию остаток совпадает, а частичная сумма Sn при фиксированном n является постоянное число. Итак, граница С равенства (7) следует: если ряд (1) расходится, то и остаток разбегается, и, шишаки, если остаток разбегается, то ряд также расходится. С равенства (8) следует, что, поэтому при остаток сходящегося ряда.
Если в совете (1) сумму первых п членов отбросить, то это не повлияет на сходимость или расхождение ряда. Если члены сходящегося ряда умножить на число С, то полученный ряд также будет сходящимся, а его сумма умножится на С. Если ряды и совпадают, то ряд также совпадает, причем сумма последнего ряда равен. Где Доказательство теоремы 2 и теоремы 3 вытекает из определения сходимости числового ряда и свойств границы.
Необходимый признак сходимости ряда Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член при, то есть (9) Действительно, отсюда получим что и требовалось доказать. Если условие (9) не выполняется, то числовой ряд расходится. Например, ряд расходится том, что Отметим, что условие сходимости (9) является лишь необходимым условием. Так, гармонический ряд удовлетворяет условию (9), но этот ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов В более полных курсах высшей математики доведены следующие достаточные признаки сходимости положительныхчисловых рядов, которые желательно понять и использовать. Признак сравнения. Пусть надо исследовать сходимость заданного ряда (10) Возьмем другой положительный числовой ряд, сходимость или расхождение которого известна (11) Чаще всего для сравнения берут ряд геометрической прогрессии или обобщенный гармонический ряд. Если ряд (11) сходится и, начиная с некоторого, выполняются соотношения, тогда и ряд (10) также совпадает.
Если ряд (11) расходится и, начиная с некоторого, выполняются соотношения, тогда и ряд (10) расходится. Исследовать сходимость ряда Решение. Сравним заданный ряд с рядом геометрической прогрессии, знаменатель которой Каждый член заданного ряда меньше или равен соответствующему члену ряда геометрической прогрессии, который совпадает, так как & lt; 1 Итак, заданный советов совпадает. Признак Даламбера. Обозначим D постоянную Даламбера, которую находят по формуле (12) Если D & lt; 1, тогда положительный числовой ряд сходится. При D & gt; 1 этот ряд расходится.
При D = 1 надо применять иной признак. Исследовать сходимость совет Решение. Применим к заданному ряду признак Даламбера Итак, заданный ряд расходится. Радикальный признак Коши. Обозначим К постоянную Коши, которую находят по формуле (13) Если К & lt; 1, тогда положительный числовой ряд сходится. При К & gt; 1 ряд расходится. Если К = 1, то надо применять иной признак.
Исследовать сходимость ряда Решение. Применим к заданному ряда радикальную признак Коши. Тогда Итак, заданный ряд сходится. Интегральная признак Коши. Надо исследовать сходимость положительного числового ряда где. Рассмотрим несобственный интеграл.
Если этот интеграл совпадает, то числовой ряд также совпадает: если этот интеграл расходится, то числовой ряд также расходится. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда Розвьязувания. Применим к этому ряду интегральную признак Коши. Рассмотрим несобственный интеграл. 1) при р = 1 получим: В этом случае интеграл расходится, следовательно и ряд расходящийся 2).
Нетрудно видеть, что при р & lt; 1 интеграл расходится, а при р & gt; 1 интеграл сходится. Итак, обобщенный гармонический ряд является сходящимся, если р & gt; 1 и расходится, если р & lt; 1. Знакопочережни числовые ряды Определение 6. Ряд, члены которого почережно имеют положительный и отрицательный знаки, называют знакопочережним.
Реферат На Любую Тему
Такой ряд можно записать, например, в виде (14) Определение 7. Знакопочережний ряд называют сходящимся абсолютно, если совпадает положительный числовой ряд, составленный из абсолютных величин знакопочережного ряда (14) Если ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (14) расходится, а знакопочережний ряд совпадает, то говорят, что ряд (14) совпадает абсолютна или условно. Абсолютное совпадение знакопочережного ряда исследуют с использованием достаточных признаков сходимости положительных числовых рядов. Неабсолютного сходимость знакопочережного ряда исследуют с использованием признаки Лейбница. Признак Лейбница.
Реферат На Тему Древняя Греция
Если абсолютные величины знакопочережного ряда монотонно приходят, то есть U1 & gt; U2 & gt; U3 & gt. & gt; Un & gt. И граница его общего члена равен нулю при, то есть выполняется условие тогда знакопочережний ряд совпадает, причем его сумма S обязательно меньше первого члена ряда. Если заменить сумму этого ряда S его частичной суммой Sm, тогда абсолютная величина погрешности Rm будет меньше первого отвергнутого члена ряда, то есть Последняя оценка используется в приближенных вычислениях. Исследовать сходимость знакопочережних рядов Решение. А) Составим ряд из абсолютных величин заданного знакопочережного ряда ( произвольное число) (15) Сравним этот ряд с сходящимся обобщенным гармоничным рядом (16) Каждый член ряда (15) меньше или РавноЮе соответствующему члену ряда (16) потому, что Согласно признаку сравнения ряд (15) совпадает, а это значит, что заданный знакопочережний ряд а) совпадает абсолютно b) В этом случае ряд, составленный из абсолютных величин - расходящийся гармонический ряд, поэтому ряд абсолютно не совпадает. Для исследования его не абсолютно сходимости надо применить признак Лейбница.
Скачать Реферат Бесплатно
В данном случае оба условия признаки Лейбница выполняются Поэтому знакопочережний ряд b) совпадает не абсолютно. В этом случае выполняется необходимое условие сходимости числового ряда том, что Итак, ряд расходится.